来看看那些实在长得像课后习题的世界难题

摘要: 数学世界里有很多著名的难题,比如歌德巴赫猜想。

11-08 14:04 首页 超级数学建模


本文转自哆嗒数学网


数学世界里有很多著名的难题,比如歌德巴赫猜想。歌德巴赫猜想作为一个世界难题之所以著名,是因为问题本身太容易表达了,表达出来后,一个小学生都能看懂。如果,把这个样的问题放在教材课后的习题部分,不知道能坑掉多少脑细胞。


然而,数学就是这么神奇,一些数学问题的表述非常简单,简单得就像课后的习题一样。但要解决他们非常困难。就像他们故意伪装成课后习题似的。下面的10个问题大概就是这样的问题。他们的表述非常简单,普通大二的理工科学生都能看懂,但至今无人能解决。

 

第十名  数一数,素数和合数到底有多少的问题

习题伪装指数:

 

如果学过初等数论,我们由素数定理可以简单的认为素数在自然数中的密度为零。那么我乱扔一个其他形式的一堆自然数,其中素数的密度也是零吗?

 

问题:形如2^n+5的自然数几乎都是合数。( 2^n表示2的n次方,几乎的意思是指密度为1 )

 

好吧,看懂这个似乎要至少学过初等数论。但是不是所有理工科的朋友都学过这门课。但这个问题真的很难,至今不知道怎么解决。

 

第九名  看上去是线性代数中找几组基的问题

习题伪装指数:

 

线性代数相信大多数理工科的朋友都会学习。我相信,对线性空间这个名词并不陌生。对于n维线性空间,任意n个线性无关的向量都能组成该空间的一个基。现在,我们有B1,B2,...,Bi,...,Bn这n个向量组(wiki上要求两两不交,其实不要求也可以),每个向量组有n个向量,这些向量组都构成n维线性空间的一个基。于是这里,有n×n个向量。现在,把这个n×n个向量排成一个n×n矩阵,矩阵的第i行的n个元素,正好是Bi中的n个元素(这一行的顺序无所谓)。

 

问题:对任意给定的n个基,有没有一种排列办法,满足上述条件,而且矩阵中的每一列的n个向量都构成线性空间的一个基。

 

这个叫做罗塔基猜想,由罗塔在1989年提出。这其实是一个披着线性代数外衣的组合问题。这里只是提到它的线性代数版本,还有别的版本,比如流形版本。

 

第八名  一个忧伤故事引发的数学难题

习题伪装指数:★☆

 

一个忧伤的故事,有n个人(n>1)在半径为1千米的圆形跑道上匀速的跑圈,没有人静止不动(即速度大于0)。他们出发点相同,行走的方向相同,但没有任何两个人速度是相同的(就是说,n个人的速度两两不同)。跑道上的人感情很脆弱,当一个人和其他每个人的距离都大于等于1/n千米的时候,这个人会觉得自己很孤独。

 

问题:请证明对任意n,跑道上的人每一个人,都有孤独的时候!


 

这叫做孤独的跑者问题。这个问题非常难,目前的情况是,有人证明了n≤7的时候,命题成立。另外,陶哲轩证明了,对任意的n,只需要验证有限多种情况就可以判定命题是否成立。但就仅n=8的时候,那个分类的带来的计算量,已经不是地球上的计算机能处理的了。

 

第七名  集合求并集,找元素的“小问题”

习题伪装指数:★★

 

关于集合的知识,我们在高中就学了不少了。一个集合也可以是另外一个集合的元素,比如集合{{2,3,4},{1,4,6,9},{1,2,3,4,6,9}},{2,3,4}就是它的一个元素。一个由集合为元素组成的集合我们称为集族。如果一个集族里面任意两个元素并起来,还是这个集族里的元素,我们就说这个集族对并集运算封闭(因为集族里的元素都是集合,于是可以做并集运算)。

 

问题:一个有限的集族,集族的每个元素也都是有限集合。如果它对并集运算封闭,且不是{?},那么是否一定有个元素,这个元素属于集族里至少一半的集合。比如,前面举的集合例子,它是一个3个集合组成的集族,而元素2是第一个和第三个集合的元素,超过3的一半。

 

此问题由彼得·弗兰克尔在1979年提出,叫做并集封闭集族猜想。快40年了,没人解决。目前的情况是,人们解决了集合数量不超过46个的集族的情况,以及集族中最少元素不超过两个的情况,这些时候答案都是肯定的。

 

第六名   一个求极限的问题,判定出来的极限值是什么

习题伪装指数:★★☆


我们的很多读者一定做过这样的习题,就是证明 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...+ 1/n - ln(n) 在n→∞的时候,极限是存在的。用的办法是单调有界原理。我们把这个极限用符号γ表示,称作欧拉常数。

 

问题:判断欧拉常数γ是有理数还是无理数。

 

我们知道他的近似值,0.57721566490153... ,2003年有人用从对它的连分数研究中得到结果是:如果欧拉常数是有理数,那么它的分母将超过10的242080次方。但是依然离判断出结果很远。

 

第五名  貌似小学生都“知道”的有理数无理数问题

习题伪装指数:★★★

 

自然对数底e,圆周率π都是我们在中学里最常见的无理数。上了大学学习了高等数学或者数学分析后,我们有能力证明他们是无理数这件事情当然可能需要一些课外阅读)。但是我们对这两个数做四则运算后的结果,是有理数还是无理数却并不知道。

 

问题:判断e+π和eπ是有理数还是无理数。

 

这个问题似乎没看到希望。不过,你可以用韦达定理和e、π是超越数的事实,轻易的判断e+π和eπ不可能都是有理数。

 

第四名   好“简单”的级数敛散性判断“作业题”

习题伪装指数:★★★☆

 

我们在高等数学里学了很多种级数敛散性的方法。给一个看上去形式简单的级数,判断它收敛怎么看都是课后习题级别难度的问题。那么我们看看下面一个级数。

 

 

问题:上面的级数是否收敛?

 

这个问题其实是一个和π有关的数论问题。实际上很多看上去带sin的极限问题都是伪装成高等数学的超越数论问题,都和π有关系。

 

第三名   关于正整数乘乘除除的游戏

习题伪装指数:★★★★

 

我们来做一个游戏。给你一个正整数,如果它是偶数,我们把它除以2得到一个新的自然数,如果新的自然数还是偶数,继续除以2。这样一直除到他是奇数为止。对于这个奇数,我们把它乘以3再加上1,这样又得到一个偶数。我们再继续前面的操作——只要是偶数就除以2,奇数就乘以3加上1。这样一直操作下去,我们会得到一个无穷长度的正整数序列。

 

问题: 对任意给定的初始正整数,按上面操作的得到序列最终会归于4,2,1,4,2,1,4,2,1,... 的循环?

 

这叫做考拉兹猜想,也叫3n+1猜想。有人把这个问题作出了推广,有了这个猜想的推广版本。已经证明推广版本的猜想是一个算法不可判定问题——简单的说,不可能用计算机程序来证明推广版本的猜想。

 

第二名   把分数拆成分数单位的“小学奥数”题目

习题伪装指数:★★★★☆

 

我们小学就学习分数了。记得小学的奥数题目里,经常干一件事情,就是把一个分数拆成几个分数单位的和。下面的问题也和这个有关系。

 

问题:问题:对任意大于1的正整数n, 关于x,y,z的方程 4/n = 1/x + 1/y + 1/z , 是否都有正整数解?即4/n都能正好拆成三个分数单位的和。 

 

这个问题叫做埃尔德什-施特劳斯猜想,1948年提出,已经快70年了。注意到 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20 = 1/2 + 1/5 + 1/10,有两种写法。于是有人转而研究满足方程解的个数的规律(注意,如果有个n对应的解的个数是0,就否定了这个猜想)。2013年的结果是,解的个数相对于n的增长速度是不超过关于ln(n)的多项式级别的。

 

第一名 “非常简单”的不等式,但结果令人意外

习题伪装指数:★★★★★

 

诉说这个问题前,我们来看看这样两个函数。对于一个正整数n,我们把它所有的约数加起来,得到的正整数记为σ(n)。比如24的约数为1,2,3,4,6,8,12,24,那么σ(24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60。 同样是正整数n,我们把不大于它的所有正整数的倒数加起来,记为H(n), 就是说H(n)=1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n . 比如H(3)= 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6 。 通过σ(n)和H(n)我们构建如下的不等式:

 

 

问题:对所有正整数n,是否都有上面的不等式成立。

 

如果我告诉你这个不等式问题是很多数学家心目中在整个数学界最重要的猜想,你信吗?2002年,一位数学家证明了此不等式与大名鼎鼎的黎曼猜想等价。也就是说,证明了这个不等式,也就证明了黎曼猜想。而黎曼猜想在数学界的地位,大家自行百度吧,至今还有人悬赏100万美元征解。黎曼猜想的原始版本,需要有复变函数的学习背景才能看懂,但这个版本,估计中学生都能看懂了。


 

 

微信、手机QQ搜索关注 哆嗒数学网 每获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa


首页 - 超级数学建模 的更多文章: