学习数学,意义何在?为什么数学是主科而理化是副科?

摘要: ?学习数学,有什么意义?

11-08 08:55 首页 超级数学建模

学习数学,

有什么意义?


有一位初三的同学在知乎上问及学习数学的意义,这引起了很多人的关注。

本文作者刘笑,用心发了一篇开源的文章,通俗易懂又不失严谨。超模君今天分享给大家。


这个阶段的学生确实难以理解初中数学的实际用处,需要耐心解释。


我不知道现在的老师会不会给学生介绍学科的知识框架,我上初中的时候是没有老师给介绍的,现在想想如果当时有人可以给我介绍一下,至少会更清楚自己对什么更感兴趣的。不过因为父亲是小学老师,所以很早就知道了教学大纲、课程标准(这个是上中学的时候才出来的东西)这类东西,这类东西对我形成知识框架和良好的学习习惯还是有不少好处的。


闲话不说,开讲正题:学习数学,意义何在?为什么数学是主科而理化是副科呢?



中学数学有什么用?


初中数学学什么?


初中数学在我上学的时代还是分成代数和几何两门学科的。


代数的学习内容包括:代数与代数式、有理数、整式的加减、一元一次方程、二元一次方程组、不等式和不等式组、整式的乘法、因式分解、分式、数的开方、二次根式、一元二次方程、函数及其图象、统计初步。


几何的学习内容包括:线段与角、平行与相交、三角形、四边形、相似性、解直角三角形、圆。


数学的难度极速提升是在初二上学期。由于因式分解和三角形的解题对模式化和技巧性要求很高,学生需要不少枯燥的训练,同时需要一定的观察力,成绩拉开是在这个阶段,不少学生对数学兴趣丧失也是在这个阶段。


初中新课程:

有理数、整式的加减、一元一次方程、几何图形;
相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程、不等式和不等式组;
三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解、分式;
二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数、数据的分析;
一元二次方程、二次函数、旋转、圆、概率初步;
反比例函数、相似、锐角三角函数、投影和视图。


新课程加了许多新内容,深度也增加了,很多内容也重新编排了先后顺序。


高中数学学什么?


高中老课程:集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、直线和圆的方程、圆锥曲线、立体几何、排列与组合、概率与统计、极限、导数、复数。


高中新课程:

必修:集合与函数、指数与对数函数、函数的应用、平面几何体、空间关系、直线方程、圆方程、算法、统计、概率、三角函数、平面向量、三角恒等变换、解三角形、数列、不等式
文科选修:简易逻辑、圆锥曲线、导数、统计应用、推理证明方法、复数、框图
理科选修:简易逻辑、圆锥曲线、立体几何、导数、复数、推理证明方法、计数原理、随机变量、统计。
其他的自选课(可以想象,除了很牛逼的学校,基本不会上):数学史、球面几何、对称与群论、几何证明、矩阵运算、坐标系和参数方程、不等式("花式"不等式)、初等数论、试验设计、风险决策、布尔代数。


不得不说,新课程的自选课简直是炫酷屌炸天。



中学课程与大学课程的衔接:


数学可以简单地进行大致归类:代数、几何、分析和数论。


如果不是数学系的大学生,一般在本科会学到高等数学、线性代数、概率论和数理统计这三门课程中的两到三门。高等数学就属于分析范畴,线性代数显然属于代数范畴,概率论和数理统计属于应用数学范畴,但需要分析和代数工具。几何和数论一般只有数学系和少数专业学习。

中学数学知识是学习大学数学知识的基础,这就是学习中学数学的意义所在。这个结论如此简单明白,以至于几乎不需要论证。不过还是大致梳理一下中学数学知识的联系,以及它们如何构成大学数学的学习基础,方不愧写这么多字嘛!
先说代数和分析:


小学我们计算都是数的运算,结果就是一个数,所以学的都是数的运算法则。到了中学,我们想用一个可以做万金油的字母代替所有数,所以引入的代数式。这是一种语言体系的转换,我们使得运算更加一般化了。引入代数式之后出现了数系的扩充。a-b(a<b,a和b都是整数)引出了负数,a/b(a<b,b≠0,a和b都是整数)引出了分数。所以我们把原来的整数扩展为有理数。这是另一种语言体系的转换,我们使得运算的范围扩大了。


然后我们开始学习整式的加减和乘法,并且学了整式乘法的逆运算——因式分解,并且从另一条主线上,我们也学习了由整式构成的方程,一元一次方程二元一次方程不等式。整式也能够做除法,变成分式,同时也可以做分式方程。但是,在解一元二次方程时遇到了x^2=a(a>0)的情况,原来的语言体系不好用了,所以引入了数的开方运算,引入了无理数,将数系扩充到实数领域,以及代数式的形式——根式,这样就解决了解一元二次方程的问题。我中考时,数学只考一元二次方程、函数和统计初步,因为一元二次方程和函数涉及到所有之前学到的代数知识,所以前面讲的内容就没必要考了。


学了好了基本的运算(加减乘除和开方)以后,引入了函数。这是现代数学最重要的概念之一,也是分析学的研究对象,因此它是中学数学最核心的知识。而函数的知识,在日常生活中几乎是用不到的,这个概念在近代数学在真正被提出来,在18-19世纪才有真正严格化的理论,更高级和严格的理论20世纪才产生。但是几乎所有的数学理论和科学理论都是建构在这个大厦之上。



初中函数的应用基本也是在解方程和不等式上,但是引入函数以后,数学的语言体系就提高了一个新的层次,就和引入代数式以后提高了一个新的层次一样,高中数学的非几何和统计部分几乎完全建构在函数理论上。


高中数学首先引入集合语言,这是现代数学的理论基石,引出后文对函数的定义。但高中水平的数学几乎用不到这个东西。我高中完全不理解集合语言,只是会区分概念和集合运算。然后开始讲解函数的一般性质,包括各种初等函数(指数、对数、三角函数),以及一种特殊的函数(自变量为正整数)——数列


数列这个词,到高数里面就变成序列了,无法理解为啥不在高中就叫序列。函数和数列是高中数学最难的部分,也是高等数学基础的基础。然后通过三角函数引出平面向量,介绍简单的向量代数——又一次数学语言的重大飞跃:我们发现能够运算的不仅是数,还有代数式;不仅是代数式,还有有序的数和代数式;平面向量代数可以说已经初具线性代数的样子了,不过由于过于简单,线性代数的核心概念没有办法引入,所以可能无法体会其中威力。




然后是不等式,这是我学高中数学最吃力的一环,书上的题简单无极限,考试题千回百转。等接触了数学分析才知道,解不等式才是分析的看家本领。高考题的最后一题,基本上就是函数数列不等式的杂糅体。这些基础打牢以后,就开始学习极限导数,再深一点的再加点微积分;这已经是高等数学的内容了,高中数学浅尝辄止,也就那么回事吧。

统计学是现代科学的基石,但公众并不了解


统计思想的基石


初中的统计会讲一些抽样的方法(简单抽样、分层抽样之类),简单的统计量(均值、众数、中位数、方差、标准差、极差之类),和简单的概率知识。然后高中讲排列组合概率初步随机变量和分布数学期望和方差参数估计和回归之类的知识。这些知识很重要,虽然并没有涉及到概率论和统计学的精髓,但是排列组合是学习古典概型的基础,必需非常熟练才能掌握古典概率论;了解简单的统计量,也是统计思想潜移默化的学习过程。


高等数学在统计中的意义


不过,没有高等数学工具,高深的统计学理论实在是没办法讲清楚。单单讲实务,让学生知其然不知其所以然的话,根本起不到提升科学素养的作用。尽管无数人诟病中国教育对统计的重视不够,无数人提议普及统计学教育,但实际操作起来,还是有不小的困难。


大学的概率论首先是介绍概率的概念,使用的语言的集合论语言,分别介绍古典概型、几何概型以及柯尔莫格罗夫公理化体系,此后介绍随机变量及其分布,期望、方差和特征函数,大数律与中心极限定理。以上这些知识都是统计学的基础。统计学大致可以分为参数估计和统计推断两大范畴:参数估计研究如果从样本数据估计总体的参数;统计推断可以大致认为是研究如何比较两个样本是否存在差异的。


普通统计学讲的是实务,就是讲什么情况用什么方法才能得到令人信服的结果;数理统计学讲的是理论,就是讲每种统计方法为什么是有效的。统计学是现代实验科学的基石,可以说没有统计学,实验数据无法有效处理,难以产生有说服力的结论,科学的进步也就成为空中楼阁。



什么人需要学习高深的数学?

恐怕只有文学、艺术类的了


数学系的每个专业都需要高深的数学。就北大数学学院而言,就有数学与应用数学专业(基础数学和金融数学两个方向),统计学专业(统计学和概率论两个方向)和信息与计算科学专业(计算数学和信息科学两个方向)。所有的专业都必修的课:数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程、抽象代数、复变函数、概率论和数学模型。另外,每个方向会在各自领域进行不同程度的深化学习。


物理系的各个专业都需要高深的数学。物理系的四大力学(理论力学、统计力学、电动力学和量子力学)充满了数学,甚至可以说完全就是应用数学课。此外,还有数学物理方法课程,同样是应用数学课。所以,物理系(包括天体物理、天文学专业)需要用到的数学比一般的理科专业要多。具体需要多少还是跟方向相关,不同专业可能涉及到实变函数、抽象代数、偏微分方程甚至黎曼几何。



计算机专业需要高深的数学。除了高数、线代和概统之外,至少还需要集合论和图论,数理逻辑,算法分析、代数结构、组合数学、数值方法等专业的数学课程来为计算机语言逻辑和数字技术打基础。


化学专业需要一定程度的高深数学,跟方向关联较大。至少化学分析需要基本的统计学,结构化学需要量子力学的知识,而学好量子力学的前提是学好线性代数和偏微分方程。此外楼上有答主说,还涉及群论的内容。


工科专业几乎所有都是以数学、物理学(或化学、生物学)和计算机作为其理论基础的,数学要求自然是比较高的,尤其是涉及物理的相关专业,比如机械、电机、电子、土木、水利等专业,对数学的要求非常高。


经济学(包括会计和管理)专业需要一定程度的高深数学。计量经济学是现代经济学的灵魂,只有涉及数学方法的经济学探讨才是真正意义上的学术探讨。计量经济学几乎就可以翻译成经济统计学,本身就是数学方法课程。


金融学专业除了经济数学之外,还需要学习风险评估,至少涉及随机过程、时间序列分析、优化设计和金融数值方法之类的数学课程。


社会学专业也有专门的社会学统计方法课程,自然是涉及概率论和统计学,那也自然而然需要高等数学的基本知识。生物学医学专业也有专门的生物统计学方法课程,自然也需要高等数学基本知识。


讲究点的哲学专业,恐怕也都需要对数学的基本了解,毕竟现代哲学一大流派是分析哲学,对数学和逻辑学基础的研究恐怕连数学专业都望尘莫及呢。


完全不涉及数学的专业,恐怕也只有文学专业、历史专业、外语专业和政法专业。然而政治专业从来都没办法脱离经济学看问题,还是多多少少会涉及一些经济学知识;法律专业有一个方向叫知识产权法,需要从业者不仅熟悉法律本身,还要对知识产权相关专业有所了解,而这些专业往往都是理科专业。


数学对于非数学工作者意味着什么?

我们从小学开始,一直在学习数学,一直到大学还在学习数学。小学数学教会我们计算,这是数学当中最有用的部分,每个人都在用,每个人都会在生活中应用,因为亲切直观。到了初中以后,数学逐渐越来越失去它的直观性,开始露出它本来的面目——抽象,而且越学越复杂,越学越抽象。我们不清楚学习这么复杂抽象的数学有什么意义。直到有一天,我们发现我们学习的物理变成了这个样子:


物理中的动量


我们学习的化学变成了这个样子:



我们的医学专业变成这个样子:




经济学教程也变成这样:



于是我们明白数学的作用,于是书到用时方很少之感油然而生。


对于非数学工作者来说,数学是一种书面语,跟中文、外语的书面语一样,是一种表达方式。通过这种表达方式,我们可以把一个科学理论严格化、抽象化,使它更容易被理解和使用。没错,是更容易被理解;但是对于不懂这门语言的人,就会觉得跟天书一般。

相对的,数学跟外语一样,也是认识世界的一种方式。原来无法解决的科学问题,往往通过新的数学方法就迎刃而解,比如微积分、矩阵、群论、非欧几何,就把原来看来极其复杂的问题变得非常容易解释。而对于不懂这门语言的人,就无法进入这个缤纷多彩的世界。(比如好多人对量子力学感兴趣,但是没有数学基础,就很难深入其中了)

至于为啥数学是主科,物理化学生物是副科?还能因为啥,因为文科不考理化生呗。为啥文科不考理化生?因为大学文科专业几乎不学理化生啊!只要考试,哪个科不是主科;不考试的科,谁拿他当个凳儿啊!


本文由超级数学建模编辑和整理

本文来源于刘笑(知乎)

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